암기해야 할 곱셈공식의 변형
⑴ \(a^2 +b^2 =(a +b)^2 −2ab =(a −b)^2 +2ab \)
⑵ \(x^2 + \displaystyle \frac{1}{x^2} =(x + \displaystyle \frac{1}{x} )^2 −2 =(x − \displaystyle \frac{1}{x} )^2 +2 \)
* ⑴⑵는 중등과정 – 유도 과정 생략(전개하면 유도 가능)
⑶ \(a^3 +b^3 =(a +b)^3 −3ab(a +b)\\ a^3 −b^3 =(a −b)^3 +3ab(a −b) \)
⑶
\(\begin{array} ((a+b)^3 &=a^3 +3a^2b+ 3ab^2 + b \\&=a^3 +b^3 +3a^2b+ 3ab^2 \\&= a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \end{array}\)
\(∴\; a^3 +b^3 =(a+b)^3 − 3ab(a + b)\)
\(\begin{array}((a−b)^3 &=a^3 −3a^2b+ 3ab^2 − b^3\\ &=a^3 −b^3 −3a^2b+ 3ab^2 \\&= a^3 − b^3 − 3ab(a − b)\end{array}\)
\(∴\; a^3 −b^3 =(a−b)^3 + 3ab(a − b) \)
⑷ \(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x}^3 =(x + \frac{1}{x} )^3 −3(x + \frac{1}{x} )\\ \displaystyle x^3 − \frac{1}{x}^3 =(x − \frac{1}{x} )^3 +3(x − \frac{1}{x} ) \)
⑷ ⑶ 의 식에 \(a=x,\; b= \displaystyle \frac{1}{x}\) 을 대입하면
\(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3} =(x + \frac{1}{x} )^3 −3·x·\frac{1}{x}·(x + \frac{1}{x} )\\=(x + \displaystyle \frac{1}{x} )^3 −3(x + \frac{1}{x} ) \)
\(\displaystyle x^3 − \frac{1}{x^3} =(x − \displaystyle \frac{1}{x} )^3 +3·x·\frac{1}{x}·(x − \frac{1}{x} )\\=(x − \displaystyle\frac{1}{x} )^3 +3(x − \frac{1}{x} )\)
⑸ \((a −b)^2 =(a +b)^2 −4ab\\(a +b)^2 =(a −b)^2 +4ab \)
⑸ \((a −b)^2 =a^2 −2ab+b^2 \\=a^2 +2ab+b^2 −4ab \\=(a +b)^2 −4ab \)
\((a +b)^2 =a^2 +2ab+b^2\\ =a^2 −2ab+b^2 +4ab\\ =(a −b)^2 +4ab \)
⑹ \( \displaystyle(x − \frac{1}{x})^2 =(x + \frac{1}{x} )^2 −4\\ \displaystyle (x + \frac{1}{x} )^2 =(x − \frac{1}{x} )^2 +4\)
* 유도 생략 – ⑹ ⑸ 의 식에 \(a=x,\; b= \displaystyle \frac{1}{x}\) 을 대입하여 정리
⑺ \(a^2 +b^2 +c^2 =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) \)
⑺ \((a +b+ c)^2=a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \\=a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc +ca)\\ ∴\; a^2 +b^2 +c^2 =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) \)
⑻
\(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\}\)
\(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc +ca = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a +b)^2 +(b+ c)^2 +(c +a)^2\}\)
⑻ \(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca\) 를 보면 \(\displaystyle \frac{1}{2}·2\)를 곱한다는게 자동으로 떠올라야 해요. 연관되어 문제가 나올 때가 많습니다.
좌변을 정리하여 우변과 같게 한다. \(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 − 2ab − 2bc − 2ca)\\ = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a^2 −2ab+b^2)+(b^2 −2bc +c^2)+(c^2 −2ca +a^2)\}\\ = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\}\\ ∴\; a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\} \)
\(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\}\) 에서
➀ (\(a −b)^2 ≥0, \;(b− c)^2 ≥0, \;(c −a)^2 ≥0\) 이므로
\(\displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\} ≥0 \) 이 성립한다.
∴ 모든 실수 \(a,\; b,\; c\;\)에 대하여
\(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca ≥0\) 이다.
➁ \(\displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\} =0\) 인 것은 \(a=b=c \) 일 때이고,
\( a=b=c \) 이면 \(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca =0\) 이다.
<아래 식 유도과정>
\(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc +ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) \\= \displaystyle \frac{1}{2} \{(a^2 +2ab+b^2)+(b^2 +2bc +c^2)+(c^2 +2ca +a^2)\}\\ = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a +b)^2 +(b+ c)^2 +(c +a)^2\} \)
\(∴\; a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc +ca \\= \displaystyle \frac{1}{2}\{(a +b)^2 +(b+ c)^2 +(c +a)^2\}\)
⑼ \(a^3 +b^3 +c^3 =(a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca)+3abc\)
여기서 \( a+b+ c=0 \) 이면 \(a^3 +b^3 +c^3 =3abc\)
* 증명 생략 – 위 식은 우변을 전개하여 좌변과 같음을 보인다.
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연습 문제 풀이
1. \(x+y =3,\; xy = 1\)일 때, \(x^3 + y^3 \)의 값을 구하시오.
정답] \(18\)
해설] \(x^{3} +y ^{3} =(x +y) ^{3} −3xy(x +y) =3^3 −3×1×3 =18\)
2. \(a+b =3, \;ab = −2 \)일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
⑴ \(a^2 +ab+b^2\)
⑵\( \displaystyle \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}\)
⑶ \(a^4 + b^4\)
정답]
⑴ \(11\) ⑵ \(\displaystyle -\frac{45}{2}\) ⑶ \(161\)
해설]
⑴ \((주어진 식) =(a^2 +b^2)+ ab \\={(a +b)^2 −2ab}+ ab \\=(a +b)^2 −ab\\ =3^2 −(−2) =11\)
⑵ \( \displaystyle (주어진 식) =\frac{ a^3 + b^3}{ab}\\ \displaystyle = \frac {(a + b)^3 − 3ab(a + b)}{ab} \\ \displaystyle = \frac{3^3 −3 ㆍ(−2) ㆍ3}{−2} \\ \displaystyle = -\frac{ 45}{2}\)
⑶ \(a^2 +b^2 =(a +b)^2 −2ab =3^2 −2 ㆍ(−2) = 13\) 이므로
\((주어진 식) = (a^2 )^2 + (b^2 )^2 = (a^2 + b^2 )^2 − 2a^2 b^2 = 13^2 − 2 ㆍ(−2)^2 = 161\)
3. \(a+b =1, \;a^3 +b^3 =10\) 일 때, \(a^2 + b^2 \) 의 값을 구하여라.
정답] \(7\)
해설] \(ab\) 를 구하면 위 값을 구할 수 있다.
공식 \(a^3 +b^3 =(a +b)^3 −3ab(a +b) \)에서
\(10 =1^3 −3ab, \\3ab =−9 \\∴ \;ab =−3\\ a^2 +b^2 \\=(a +b)^2 −2ab \\=1^2 −2 ㆍ(−3) = 7\)
4. \(a+b =2, \;a^2 +b^2 =8\)일 때, \( a^3 + b^3 \)의 값을 구하여라.
답] \(20\)
풀이] \(ab\) 를구하면 위값을 구할 수 있다.
\(a^2 +b^2 =(a +b)^2 −2ab\) 에서
\(8=2^2 −2ab,\\ 2ab =−4\\ ∴ \;ab =−2 \\a^3 +b^3 =(a +b)^3 −3ab(a +b)\\ =2^3 −3 ㆍ(−2) ㆍ2 =20\)
5. \(a+b+ c=4, \;ab+bc +ca = 2, \;abc = −1 \)일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
⑴ \(a^2 +b^2 +c^2\)
⑵ \(a^3 +b^3 +c^3\)
⑶ \(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2\)
정답] ⑴ \(12\) ⑵ \(37\) ⑶ \(12\)
해설]
⑴ \(a^2 +b^2 +c^2\\ =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) \\=4^2 −2 ㆍ2 =12\)
⑵ \(a^3 +b^3 +c^3 \\=(a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca)+3abc\\ = 4(12 −2) + 3 ㆍ(−1) = 37\)
⑶ \(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \\= (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2\\ =(ab+bc +ca)^2 −2(ab ·bc +bc ·ca +ca ·ab) \\=(ab+bc +ca)^2 −2(ab^2 c+bc^2 a+ca^2b) \\=(ab+bc +ca)^2 −2abc(a +b+ c) \\=2^2 −2 ㆍ(−1) ㆍ4 =12\)
6. \(a+b+ c=1,\; a^2 +b^2 +c^2 =9, \;abc = −4 일 때, \;a^3 +b^3 +c^3 의 값을 구하여라.\)
정답] \(1\)
해설] \(a^2 +b^2 +c^2 =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca)\) 에서
\(9=1^2 −2(ab+bc +ca)\\ 2(ab+bc +ca) =−8\\ ∴\; ab+bc +ca =−4\)
\(a^3 + b^3 + c^3\\ =(a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca)+3abc \\=1ㆍ\{9 −(−4)\} +3 ㆍ(−4) = 1\)
7. \(a+b+ c=4, \;a^2 +b^2 +c^2 =6, \;abc = 2\) 일 때, \(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)의 값을 구하여라.
정답] \(\displaystyle \frac{5}{2}\)
해설] <통분을 해보자>
\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\= \displaystyle \frac{bc}{abc} +\frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} \\= \displaystyle \frac{ab+bc +ca}{abc} \\= \displaystyle \frac{ab+bc +ca}{2}\)
\(a^2 +b^2 +c^2=(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) 에서 \\6=4^2 −2(ab+bc +ca) \\2(ab+bc +ca) =10 \\∴ \;ab+bc +ca =5\)
\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab+bc +ca}{abc} = \frac{5}{2}\)