1. 지수법칙
일반적으로 단항식과 단항식의 곱셈은 다음 지수법칙을 이용하여 간단히 한다.
\(a, b \)는 실수, \(m, n\)은 자연수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다.
지수법칙
⑴ \(a^m ×a^n =a^{m +n }\)
⑵ \((a^m )^n = a^{mn }\)
⑶ \((ab)^n = a^n b^n\)
⑷ \(a^m ÷a^n =\displaystyle\frac{a^m}{a^n} =a^{m −n }\)
⑸ \(a^{−k} = \displaystyle\frac{1}{a^k}\)
⑹ \(a^0 =1 \)
(단 \(0^0\) 은 고등수학 과정에서 정의되지 않는다)
⑺ \(\displaystyle\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) (단, b≠0)
보기
⑴ \(2^2 ×2^3 =(2×2)×(2×2×2) =2^5 =2^{2+3} \)
⑵ \((2^2)^3 =(2×2)^3 =(2×2)×(2×2)×(2×2) =2^6 =2^{2×3} \)
⑶ \((−2x^2 )^3 = (−2)^3 × (x^2 )^3 = −8x^6 \)
⑷ \(2^5 ÷2^2 = \displaystyle \frac{2^5}{2^2} =2^3 =2^{5−2} \)
⑸⑹ 아래 거듭제곱의 규칙성을 살펴보면 쉽게 이해할 수 있다.(한 칸 내려갈 때마다 2로 나눈다)
\(2^3=8 \\
2^2=4 \\
2^1=2 \\
2^0=1 \\
2^{-1}=\displaystyle\frac{1}{2} \\
2^{-2}=\displaystyle\frac{1}{2^2} \\
2^{-3}=\displaystyle\frac{1}{2^3}
\)
⑺ \(\displaystyle\left( \frac{2}{3} \right)^5 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times\frac{2}{3} \times\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{2^5}{3^5}\)
11. [기초개념] 분모에 0을 쓰면 왜 안 되는지 설명하시오.
정답] 분모에 \(0\)을 쓴다는 것은 분자를 \(0\)으로 나눈다는 것인데, \(0\)으로 어떤 수를 나눈다는 개념은 존재하지 않기 때문이다.
보기] \(\displaystyle\frac{6}{3} =2\)는 \(3\)을 \(2\)번 더하면 \(6\)이 된다는 의미이고 \(\displaystyle\frac{6}{2} =3\)은 \(2\)를 \(3\)번 더하면 \(6\)이 된다는 의미이고 \(\displaystyle\frac{6}{1} =6\)은 \(1\)을 \(6\)번 더하면 \(6\)이 된다는 의미이다.
그러면 \(\displaystyle\frac{6}{0} \)에서 \(0\)을 몇 번을 더하면 \(6\)이 나올까? 그런 수는 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. ∴ \(0\)로 나눈다는 개념은 존재하지 않고 분모에 \(0\)은 쓰지 않는다.
12. 지수법칙을 모두 이해하고 암기하였는지 확인하시오.( \(a, b\)는 실수, \(m, n\)은 자연수일 때)
⑴ \(a^m ×a^n =\)
⑵ \((a^m )^n =\)
⑶ \((ab)^n =\)
⑷ \(a^m ÷a^n =\)
⑸ \(a^{ −k} =\)
⑴ \(a^m ×a^n =a^{m +n}\)
⑵ \((a^m )^n = a^{mn}\)
⑶ \((ab)^n = a^n b^n\)
⑷ \(a^m ÷a^n = \displaystyle\frac{a^m}{a^n} =a^{m −n}\)
⑸ \(a^ {−k} =\displaystyle\frac{1}{a^k}\)
13. 다음 식을 간단히 하여라.
⑴ \(\displaystyle \left( -\frac{ 1}{2} x^2 \right)^3 × \left(-\frac{ 1}{3} x^4\right)^2 ÷ \left(-\frac{x}{6}\right)^2\)
⑵ \(\displaystyle(−2ab^2 )^3 ÷ 8(ab)^3 × \left(-\frac{ a^2 b}{ 4}\right)^2 \)
답] ⑴ \(\displaystyle -\frac{ 1}{2} x^{12}\) ⑵ \(\displaystyle -\frac{ 1}{16} a^4 b^5\)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(\displaystyle = \left(-\frac{ 1}{8} x^6\right)×\frac{1}{9} x^8 ÷ \frac{x^2}{36} =\left(-\frac{ 1}{8} x^6\right)×\frac{1}{9} x^8× \frac{36}{x^2} =-\frac{ 1}{2} x^{12}\)
⑵ (주어진 식) \(\displaystyle= (−8a^3 b^6 ) ÷ 8a^3 b^3 ×\frac{ a^4 b^2 }{16} = (−8a^3 b^6 ) × \frac{1}{8a^3 b^3} ×\frac{ a^4 b^2 }{16} = -\frac{ 1}{16} a^4 b^5\)