곱셈 공식은 모두 확실하게 암기해야 해요!
중등 과정(필수)
⑴ \((a +b)^2 =a^2 +2ab+b^2 \)
\((a −b)^2 =a^2 −2ab+b^2 \)
⑵ \((a +b)(a −b) =a^2 −b^2 \)
⑶ \((x +a)(x +b) =x^2 +(a +b)x +ab \)
⑷ \((ax +b)(cx +d) =acx^2 +(ad+bc)x +bd\)
-⑷는 암기보단 직접 전개가 더 편리, 나머지는 암기 필수
[증명 생략]
⑴~⑷ 는 중학교 과정. 좌변을 전개하면 우변을 얻음.
고등 과정 중요 공식(필수)
⑸ \((x +a)(x +b)(x +c) \\=x^3 +(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x +abc \)
\((x −a)(x −b)(x −c) \\=x^3 −(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x −abc \)
\((x +a)(x +b)(x +c) \\=\{(x +a)(x +b)\}(x +c) \\=\{x^2 +(a +b)x +ab\}(x +c) \\=x^3 +(a +b)x^2 +abx +cx^2 +(ac +bc)x +abc \\=x^3 +(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x +abc \)
\(a\) 대신 \(-a\), \(b\) 대신 \(-b\), \(c\) 대신 \(-c\)를 대입하면 아래 공식이 나옴.
⑹ \((a +b+ c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \)
\((a +b+ c)^2 =\{(a +b)+ c\}^2 \\=(a +b)^2 +2(a +b)c +c^2 \\=a^2 +2ab+b^2 +2ac +2bc +c^2 \\=a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \)
⑺ \((a +b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 \)
\((a −b)^3 =a^3 −3a^2 b3ab^2 −b^3 \)
\((a +b)^3 =(a +b)^2(a +b)\\ =(a^2 +2ab+b^2)(a +b) \\=a^3 +a^2b+2a^2b+2ab^2 +ab^2 +b^3\\ = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\)
한편, 위 등식에서 \(b\) 대신 \(−b\) 를 대입하면
\((a −b)^3 =a^3 −3a^2 b+3ab^2 −b^3 \)
* \(b\)의 홀수차 앞의 부호가 \(-\)로 바뀐다.
⑻ \((a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca) =a^3 +b^3 +c^3 −3abc \)
⑻ 증명 생략(좌변을 전개하면 우변이 나옴)
인수분해에 더 많이 쓰이는 공식 (개념서 두번 째 공부할 때 암기)
⑼ \((a +b)(a^2 −ab+b^2) =a^3 +b^3\)
\((a −b)(a^2 +ab+b^2) =a^3 −b^3 \)
⑽ \((a^2 +ab+b^2)(a^2 −ab+b^2) =a^4 +a^2b^2 +b^4\)
⑼⑽ 증명 생략(좌변을 전개하면 우변이 나옴)
교과 외이나 암기 추천(내신에 종종 나옴)
⑾ \((a −b)(a^{n −1} +a^{n −2}b+ ⋯ +ab^{n −2} +b^{n −1}) =a^n −b^n\)
\((x −1)(x^{n −1} +x^{n −2} +x^{n −3} + ⋯ +x+1) =x^n −1 \)
다항식 \((x – 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개하면 아래와 같은 결과가 나온다.
\(x^{3} + x^{2} + x – (x^{2} + x + 1)=x^{3}- 1\)
같은 방법으로 다항식 \((x – 1)\left( x^{3} + x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개해 보면 결과는
\( x^{4} + x^{3}+ x^{2} + x – (x^{3}+ x^{2} + x+1)=x^{4} – 1\) 임을 알 수 있다.
다항식 \((x – 1)\left( x^{9} + x^{8} + x^{7} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right)\)의 전개식을 추측해 보자. 일일이 전개해 보지 않아도
\(x^{10} – 1\) 인 것을 알 수 있다.
즉,
\((x – 1)\left( x^{n – 1} + x^{n – 2} + x^{n – 3} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right) = x^{n} – 1\)
임을 기억하자.
\((a – b)\left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^{2} + \,\,\cdots\,\, + ab^{n – 2} + b^{n – 1} \right)=a^{n} – b^{n} \)
도 좌변을 전개하면 우변과 같이 나옴을 알 수 있다.(증명 생략)
곱셈공식 암기 후 맞는지 클릭하여 확인해 보세요.
\(=a^2 +2ab+b^2 \)
\( =a^2 −2ab+b^2 \)
\(=a^2 −b^2 \)
\(=x^2 +(a +b)x +ab \)
\(=acx^2 +(ad+bc)x +bd\) -암기보단 직접 전개가 더 편리
\(=x^3 +(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x +abc\)
\(=x^3 −(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x −abc \)
\(=a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \)
\(=a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 \)
\(=a^3 −3a^2 b+3ab^2 −b^3 \)
\(=a^3 +b^3 +c^3 −3abc \)
\( =a^3 +b^3\)
\( =a^3 −b^3 \)
\(=a^4 +a^2b^2 +b^4\)
\(=x^n −1 \)
곱셈공식 암기 확인용 문제, 풀이 순서가 중요하니 해설을 꼭 확인하세요!
⑴ \((4a − 3b)^2 \)
\((4a − 3b)^2 \\= (4a)^2 − 2 · 4a · 3b + (3b)^2 \\= 16a^2 − 24ab + 9b^2 \)
그냥 전개하면 안되고 암기 후 위와 같이 풀 수 있어야 합니다.
사용된 공식
\((a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2 \)
⑵ \((2a + 5b)(2a − 5b) \)
\((2a + 5b)(2a − 5b) = (2a)^2 − (5b)^2=4a^2 − 25b^2 \)
사용된 공식
\((a + b)(a − b) = a^2 − b^2 \)
⑶ \((x − 3)(x + 6) \)
\((x − 3)(x + 6)\\ = x^2 + 6x − 3x + (−3) · 6\\ = x^2 + 3x − 18\)
<공식을 안 쓰고 그냥 전개하는 것을 추천해요>
⑷ \((2x + 1)(3x − 4) \)
\((2x + 1)(3x − 4) \\= 6x^2 −8x +3x −4\\ = 6x^2 − 5x − 4\)
<공식을 안 쓰고 그냥 전개하는 것을 추천해요>
⑸ \((x − 1)(x − 2)(x − 3) \)
\((x − 1)(x − 2)(x − 3)\\ = x^3 − (1 + 2 + 3)x^2 + (1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 1)x −1 · 2 · 3 \\= x^3 -6x^2 + 11x − 6 \)
사용된 공식
\((x − a)(x − b)(x − c) \\= x^3 − (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x − abc \)
⑹ \((x − y + z)^2 \)
\((x − y + z)^2\\ = x^2 + (−y)^2 + z^2 + 2x · (−y) +2 · (−y) · z + 2zx\\ = x^2 + y^2+ z^2 − 2xy − 2yz + 2zx\)
사용된 공식
\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
⑺ \((x − 2)^3 \)
\((x − 2)^3 \\= x^3 − 3x^2 · 2 + 3x · 2^2 − 2^3 \\= x^3 − 6x^2 + 12x − 8 \)
사용된 공식
\((a − b)^3= a^3 − 3a^2 b + 3ab^2 − b^3 \)
⑻ \((x +2)(x^2 −2x +4) \)
\((x + 2)(x^2 − 2x + 4)\\ = (x + 2)(x^2 − 2x + 2^2 ) \\= x^3 + 2^3 \\= x^3 + 8\)
사용된 공식
\((a +b)(a^2 −ab+b^2) =a^3 +b^3\)
⑼ \((x +y+1)(x^2 +y^2 −xy− x−y+1) \)
\((x + y + 1)(x^2 +y^2− xy − x − y + 1)\\ = (x + y + 1)(x^2 + y^2 + 1^2 − xy − y · 1 − 1 · x) \\= x^3 + y^3 + 1^3 − 3 · x · y · 1\\ = x^3 + y^3 − 3xy + 1\)
사용된 공식
\((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab- bc − ca) \\= a^3 + b^3 + c^3 − 3abc \)
⑽ \((x^2+3x+9)(x^2-3x+9)\)
풀이1] <그냥 전개해도 괜찮아요>
\((x^2+3x+9)(x^2-3x+9)\\
=\{(x^2+9)+3x\}\{(x^2+9)-3x\} \\
=(x^2+9)^2-(3x)^2 \\
=(x^2)^2+18x^2+81-9x^2 \\
=x^4+9x^2+81 \)
풀이2] <공식사용>
\((x^2+3x+9)(x^2-3x+9)\\
=x^4+9x^2+81 \)
사용공식
\((a^2 +ab+b^2)(a^2 −ab+b^2) =a^4 +a^2b^2 +b^4\)