내림차순과 오름차순
⑴ 내림차순으로 정리 :
한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것
이차식의 경우 \(x\)에 대한 내림차순은
\(( \;\;\;\;\;\; )x^2 +(\;\;\;\;\;\; )x +( \;\;\;\;\;\;)\)
꼴로 식을 나타내는 것.
⑵ 오름차순으로 정리 : 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것
이차식의 경우 \(x\)에 대한 오름차순은
\(( \;\;\;\;\;\;)+( \;\;\;\;\;\;)x+(\;\;\;\;\;\; )x^2 \)
꼴로 식을 나타내는 것이다.
4. \(5x +x^3 +2x^2 +3\) 을
⑴ \(x\)에 관해 내림차순으로 정리하시오.
⑵ \(x\)에 관해 오름차순으로 정리하시오.
⑴ \(x\)에 관해 내림차순으로 정리하면
\(x^3 +2x^2 +5x +3 \)
⑵ \(x\)에 관해 오름차순으로 정리하면
\(3+5x +2x^2 +x^3 \)
5. \(4x^3 +x^3y^2 −2y^3 +3xy+2\) 을
⑴ \(x\)에 관해 내림차순으로 정리하시오.
정답] \((4+y^2)x^3 +3xy−2y^3 +2 \)
풀이] 문자가 두 개 이상일 땐 다른 한 문자는 상수와 같이 취급한다.
* 이 식의 각 항은 \(x\)에 관하여 다음과 같은 차수를 갖는다.
\begin{array} 4x^3\;+ & x^3y^2\;- & 2y^3\;+ & 3xy\;+ & 2 \\ ↑ & \;↑ & \;↑ & \;↑ & ↑ \\ 3차 & 3차 & 상수 & 1차 & 상수 \\ \end{array}
[1단계] \(x\)에 관해 내림차순으로 정리한다.
\begin{array} 4x^3\;+ & x^3y^2\; + & 3xy\;− & 2y^3 \;+ & 2 \\ ↑ &\; ↑ & \;↑ & \;↑ & ↑ \\ 3차 & 3차 & 1차 & 상수 & 상수 \\ \end{array}
[2단계] 동류항끼리 괄호로 정리한다.
\[(4+y^2)x^3 +3xy−2y^3 +2 \]
학생들이 자주 묻는 질문
Q 내림차순, 오름차순으로 정리할 때 꼭 동류항끼리 괄호로 묶어줘야 답인가요?
A 그렇진 않아요. 묶지 않아도 정답입니다. 좀 더 깔끔하게 보일 뿐입니다.
Q \(−2y^3\) 을 \(2\)보다 꼭 먼저 써야 하나요?
A 그렇지 않아요. 내림차순, 오름차순에서 같은 차수 항끼리의 순서는 중요하지 않습니다.
⑵ \(x\)에 관해 오름차순으로 정리하시오.
⑵ \( x\)에 관해 오름차순으로 정리하면
\(2−2y^3 +3xy+(4+y^2)x^3 \)
⑶ \(y\)에 관해 내림차순으로 정리하시오.
정답] \(−2y^3 +x^3y^2 +3xy+4x^3 +2 \)
풀이] 이 식은 \(y\)에 관한 차수를 정리하면 아래와 같다.
\begin{array} 4x^3\;+ & x^3y^2\;- & 2y^3\;+ & 3xy\;+ & 2 \\ ↑ & \;↑ & \;↑ & \;↑ & ↑ \\ 상수 & 2차 & 3차 & 1차 & 상수 \\ \end{array}
\(y\)에 관해 내림차순으로 정리하면
\[−2y^3 +x^3y^2 +3xy+4x^3 +2 \]
6. 다항식 \(x^2y^2 +2x^2 +3xy+4y^2 −5x −6y+7 \) 을 다음의 방법으로 정리하여라.
⑴ \(x\)에 대한 내림차순
답]
⑴ \((y^2 +2)x^2 +(3y−5)x +4y^2 −6y+7 \)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(=(x^2y^2 +2x^2)+(3xy−5x)+(4y^2 −6y+7) \)
\(=(y^2 +2)x^2 +(3y−5)x +(4y^2 −6y+7) \)
⑵ \(y\)에 대한 오름차순
답]
⑵ \(2x^2 −5x +7+(3x −6)y+(x^2 +4)y^2 \)
풀이]
⑵ (주어진 식) \(=(2x^2 −5x +7)+(3xy−6y)+(x^2y^2 +4y^2) \)
\(=(2x^2 −5x +7)+(3x −6)y+(x^2 +4)y^2 \)
학생들이 자주 하는 질문
Q ⑵ \(x\)도 낮은 차수부터 써야 답 아닌가요?
A \(y\)만 오름차순이면 \(x\)는 상관없습니다.
\(2x^2 −5x +7+(3x −6)y+(x^2 +4)y^2\) 도 맞고
\(7−5x +2x^2 +(3x −6)y+(x^2 +4)y^2\) 도 맞아요.
다만 수학에서 내림차순으로 쓰는게 더 익숙하여 답안처럼 답을 많이 합니다.
7. 다항식 \(ax^2 +bxy+ cy^2 +dx +ey+f\) 를 다음의 방법으로 정리하여라.
⑴ \(x\)에 대한 내림차순
⑵ \(y\)에 대한 오름차순
답]
⑴ \(ax^2 +(by+d)x +(cy^2 +ey+f) \)
⑵ \((ax^2 +dx +f)+(bx +e)y+ cy^2 \)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(=ax^2 +(bxy+dx)+(cy^2 +ey+f) \)
\(=ax^2 +(by+d)x +(cy^2 +ey+f) \)
⑵ (주어진 식) \(=(ax^2 +dx +f)+(bxy+ ey)+ cy^2 \)
\(=(ax^2 +dx +f)+(bx +e)y+ cy^2 \)