⑴ \(a^2 +b^2 =(a +b)^2 −2ab =(a −b)^2 +2ab \)
⑵ \(x^2 + \displaystyle \frac{1}{x^2} =(x + \displaystyle \frac{1}{x} )^2 −2 =(x − \displaystyle \frac{1}{x} )^2 +2 \)
* ⑴⑵는 중등과정 – 유도 과정 생략(전개하면 유도 가능)
⑶ \(a^3 +b^3 =(a +b)^3 −3ab(a +b)\\ a^3 −b^3 =(a −b)^3 +3ab(a −b) \)
⑶
\(\begin{array} ((a+b)^3 &=a^3 +3a^2b+ 3ab^2 + b \\&=a^3 +b^3 +3a^2b+ 3ab^2 \\&= a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \end{array}\)
\(∴\; a^3 +b^3 =(a+b)^3 − 3ab(a + b)\)
\(\begin{array}((a−b)^3 &=a^3 −3a^2b+ 3ab^2 − b^3\\ &=a^3 −b^3 −3a^2b+ 3ab^2 \\&= a^3 − b^3 − 3ab(a − b)\end{array}\)
\(∴\; a^3 −b^3 =(a−b)^3 + 3ab(a − b) \)
⑷ \(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x}^3 =(x + \frac{1}{x} )^3 −3(x + \frac{1}{x} )\\ \displaystyle x^3 − \frac{1}{x}^3 =(x − \frac{1}{x} )^3 +3(x − \frac{1}{x} ) \)
⑷ ⑶ 의 식에 \(a=x,\; b= \displaystyle \frac{1}{x}\) 을 대입하면
\(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3} =(x + \frac{1}{x} )^3 −3·x·\frac{1}{x}·(x + \frac{1}{x} )\\=(x + \displaystyle \frac{1}{x} )^3 −3(x + \frac{1}{x} ) \)
\(\displaystyle x^3 − \frac{1}{x^3} =(x − \displaystyle \frac{1}{x} )^3 +3·x·\frac{1}{x}·(x − \frac{1}{x} )\\=(x − \displaystyle\frac{1}{x} )^3 +3(x − \frac{1}{x} )\)
⑸ \((a −b)^2 =(a +b)^2 −4ab\\(a +b)^2 =(a −b)^2 +4ab \)
⑸ \((a −b)^2 =a^2 −2ab+b^2 \\=a^2 +2ab+b^2 −4ab \\=(a +b)^2 −4ab \)
\((a +b)^2 =a^2 +2ab+b^2\\ =a^2 −2ab+b^2 +4ab\\ =(a −b)^2 +4ab \)
⑹ \( \displaystyle(x − \frac{1}{x})^2 =(x + \frac{1}{x} )^2 −4\\ \displaystyle (x + \frac{1}{x} )^2 =(x − \frac{1}{x} )^2 +4\)
* 유도 생략 – ⑹ ⑸ 의 식에 \(a=x,\; b= \displaystyle \frac{1}{x}\) 을 대입하여 정리
⑺ \(a^2 +b^2 +c^2 =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) \)
⑺ \((a +b+ c)^2=a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \\=a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc +ca)\\ ∴\; a^2 +b^2 +c^2 =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) \)
⑻
\(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\}\)
\(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc +ca = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a +b)^2 +(b+ c)^2 +(c +a)^2\}\)
⑻ \(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca\) 를 보면 \(\displaystyle \frac{1}{2}·2\)를 곱한다는게 자동으로 떠올라야 해요. 연관되어 문제가 나올 때가 많습니다.
좌변을 정리하여 우변과 같게 한다. \(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 − 2ab − 2bc − 2ca)\\ = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a^2 −2ab+b^2)+(b^2 −2bc +c^2)+(c^2 −2ca +a^2)\}\\ = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\}\\ ∴\; a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\} \)
\(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\}\) 에서
➀ (\(a −b)^2 ≥0, \;(b− c)^2 ≥0, \;(c −a)^2 ≥0\) 이므로
\(\displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\} ≥0 \) 이 성립한다.
∴ 모든 실수 \(a,\; b,\; c\;\)에 대하여
\(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca ≥0\) 이다.
➁ \(\displaystyle \frac{1}{2} \{(a −b)^2 +(b− c)^2 +(c −a)^2\} =0\) 인 것은 \(a=b=c \) 일 때이고,
\( a=b=c \) 이면 \(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca =0\) 이다.
<아래 식 유도과정>
\(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc +ca \\= \displaystyle \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) \\= \displaystyle \frac{1}{2} \{(a^2 +2ab+b^2)+(b^2 +2bc +c^2)+(c^2 +2ca +a^2)\}\\ = \displaystyle \frac{1}{2} \{(a +b)^2 +(b+ c)^2 +(c +a)^2\} \)
\(∴\; a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc +ca \\= \displaystyle \frac{1}{2}\{(a +b)^2 +(b+ c)^2 +(c +a)^2\}\)
⑼ \(a^3 +b^3 +c^3 =(a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca)+3abc\)
여기서 \( a+b+ c=0 \) 이면 \(a^3 +b^3 +c^3 =3abc\)
* 증명 생략 – 위 식은 우변을 전개하여 좌변과 같음을 보인다.
곱셈공식 암기 연습이 필요한 학생은 위 버튼을 클릭하여 암기 연습을 해보세요.
1. \(x+y =3,\; xy = 1\)일 때, \(x^3 + y^3 \)의 값을 구하시오.
정답] \(18\)
해설] \(x^{3} +y ^{3} =(x +y) ^{3} −3xy(x +y) =3^3 −3×1×3 =18\)
2. \(a+b =3, \;ab = −2 \)일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
⑴ \(a^2 +ab+b^2\)
⑵\( \displaystyle \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}\)
⑶ \(a^4 + b^4\)
정답]
⑴ \(11\) ⑵ \(\displaystyle -\frac{45}{2}\) ⑶ \(161\)
해설]
⑴ \((주어진 식) =(a^2 +b^2)+ ab \\={(a +b)^2 −2ab}+ ab \\=(a +b)^2 −ab\\ =3^2 −(−2) =11\)
⑵ \( \displaystyle (주어진 식) =\frac{ a^3 + b^3}{ab}\\ \displaystyle = \frac {(a + b)^3 − 3ab(a + b)}{ab} \\ \displaystyle = \frac{3^3 −3 ㆍ(−2) ㆍ3}{−2} \\ \displaystyle = -\frac{ 45}{2}\)
⑶ \(a^2 +b^2 =(a +b)^2 −2ab =3^2 −2 ㆍ(−2) = 13\) 이므로
\((주어진 식) = (a^2 )^2 + (b^2 )^2 = (a^2 + b^2 )^2 − 2a^2 b^2 = 13^2 − 2 ㆍ(−2)^2 = 161\)
3. \(a+b =1, \;a^3 +b^3 =10\) 일 때, \(a^2 + b^2 \) 의 값을 구하여라.
정답] \(7\)
해설] \(ab\) 를 구하면 위 값을 구할 수 있다.
공식 \(a^3 +b^3 =(a +b)^3 −3ab(a +b) \)에서
\(10 =1^3 −3ab, \\3ab =−9 \\∴ \;ab =−3\\ a^2 +b^2 \\=(a +b)^2 −2ab \\=1^2 −2 ㆍ(−3) = 7\)
4. \(a+b =2, \;a^2 +b^2 =8\)일 때, \( a^3 + b^3 \)의 값을 구하여라.
답] \(20\)
풀이] \(ab\) 를구하면 위값을 구할 수 있다.
\(a^2 +b^2 =(a +b)^2 −2ab\) 에서
\(8=2^2 −2ab,\\ 2ab =−4\\ ∴ \;ab =−2 \\a^3 +b^3 =(a +b)^3 −3ab(a +b)\\ =2^3 −3 ㆍ(−2) ㆍ2 =20\)
5. \(a+b+ c=4, \;ab+bc +ca = 2, \;abc = −1 \)일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
⑴ \(a^2 +b^2 +c^2\)
⑵ \(a^3 +b^3 +c^3\)
⑶ \(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2\)
정답] ⑴ \(12\) ⑵ \(37\) ⑶ \(12\)
해설]
⑴ \(a^2 +b^2 +c^2\\ =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) \\=4^2 −2 ㆍ2 =12\)
⑵ \(a^3 +b^3 +c^3 \\=(a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca)+3abc\\ = 4(12 −2) + 3 ㆍ(−1) = 37\)
⑶ \(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \\= (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2\\ =(ab+bc +ca)^2 −2(ab ·bc +bc ·ca +ca ·ab) \\=(ab+bc +ca)^2 −2(ab^2 c+bc^2 a+ca^2b) \\=(ab+bc +ca)^2 −2abc(a +b+ c) \\=2^2 −2 ㆍ(−1) ㆍ4 =12\)
6. \(a+b+ c=1,\; a^2 +b^2 +c^2 =9, \;abc = −4 일 때, \;a^3 +b^3 +c^3 의 값을 구하여라.\)
정답] \(1\)
해설] \(a^2 +b^2 +c^2 =(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca)\) 에서
\(9=1^2 −2(ab+bc +ca)\\ 2(ab+bc +ca) =−8\\ ∴\; ab+bc +ca =−4\)
\(a^3 + b^3 + c^3\\ =(a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca)+3abc \\=1ㆍ\{9 −(−4)\} +3 ㆍ(−4) = 1\)
7. \(a+b+ c=4, \;a^2 +b^2 +c^2 =6, \;abc = 2\) 일 때, \(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)의 값을 구하여라.
정답] \(\displaystyle \frac{5}{2}\)
해설] <통분을 해보자>
\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \\= \displaystyle \frac{bc}{abc} +\frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} \\= \displaystyle \frac{ab+bc +ca}{abc} \\= \displaystyle \frac{ab+bc +ca}{2}\)
\(a^2 +b^2 +c^2=(a +b+ c)^2 −2(ab+bc +ca) 에서 \\6=4^2 −2(ab+bc +ca) \\2(ab+bc +ca) =10 \\∴ \;ab+bc +ca =5\)
\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab+bc +ca}{abc} = \frac{5}{2}\)
⑴ \((a +b)^2 =a^2 +2ab+b^2 \)
\((a −b)^2 =a^2 −2ab+b^2 \)
⑵ \((a +b)(a −b) =a^2 −b^2 \)
⑶ \((x +a)(x +b) =x^2 +(a +b)x +ab \)
⑷ \((ax +b)(cx +d) =acx^2 +(ad+bc)x +bd\)
-⑷는 암기보단 직접 전개가 더 편리, 나머지는 암기 필수
[증명 생략]
⑴~⑷ 는 중학교 과정. 좌변을 전개하면 우변을 얻음.
⑸ \((x +a)(x +b)(x +c) \\=x^3 +(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x +abc \)
\((x −a)(x −b)(x −c) \\=x^3 −(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x −abc \)
\((x +a)(x +b)(x +c) \\=\{(x +a)(x +b)\}(x +c) \\=\{x^2 +(a +b)x +ab\}(x +c) \\=x^3 +(a +b)x^2 +abx +cx^2 +(ac +bc)x +abc \\=x^3 +(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x +abc \)
\(a\) 대신 \(-a\), \(b\) 대신 \(-b\), \(c\) 대신 \(-c\)를 대입하면 아래 공식이 나옴.
⑹ \((a +b+ c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \)
\((a +b+ c)^2 =\{(a +b)+ c\}^2 \\=(a +b)^2 +2(a +b)c +c^2 \\=a^2 +2ab+b^2 +2ac +2bc +c^2 \\=a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \)
⑺ \((a +b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 \)
\((a −b)^3 =a^3 −3a^2 b3ab^2 −b^3 \)
\((a +b)^3 =(a +b)^2(a +b)\\ =(a^2 +2ab+b^2)(a +b) \\=a^3 +a^2b+2a^2b+2ab^2 +ab^2 +b^3\\ = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\)
한편, 위 등식에서 \(b\) 대신 \(−b\) 를 대입하면
\((a −b)^3 =a^3 −3a^2 b+3ab^2 −b^3 \)
* \(b\)의 홀수차 앞의 부호가 \(-\)로 바뀐다.
⑻ \((a +b+ c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc −ca) =a^3 +b^3 +c^3 −3abc \)
⑻ 증명 생략(좌변을 전개하면 우변이 나옴)
⑼ \((a +b)(a^2 −ab+b^2) =a^3 +b^3\)
\((a −b)(a^2 +ab+b^2) =a^3 −b^3 \)
⑽ \((a^2 +ab+b^2)(a^2 −ab+b^2) =a^4 +a^2b^2 +b^4\)
⑼⑽ 증명 생략(좌변을 전개하면 우변이 나옴)
⑾ \((a −b)(a^{n −1} +a^{n −2}b+ ⋯ +ab^{n −2} +b^{n −1}) =a^n −b^n\)
\((x −1)(x^{n −1} +x^{n −2} +x^{n −3} + ⋯ +x+1) =x^n −1 \)
다항식 \((x – 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개하면 아래와 같은 결과가 나온다.
\(x^{3} + x^{2} + x – (x^{2} + x + 1)=x^{3}- 1\)
같은 방법으로 다항식 \((x – 1)\left( x^{3} + x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개해 보면 결과는
\( x^{4} + x^{3}+ x^{2} + x – (x^{3}+ x^{2} + x+1)=x^{4} – 1\) 임을 알 수 있다.
다항식 \((x – 1)\left( x^{9} + x^{8} + x^{7} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right)\)의 전개식을 추측해 보자. 일일이 전개해 보지 않아도
\(x^{10} – 1\) 인 것을 알 수 있다.
즉,
\((x – 1)\left( x^{n – 1} + x^{n – 2} + x^{n – 3} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right) = x^{n} – 1\)
임을 기억하자.
\((a – b)\left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^{2} + \,\,\cdots\,\, + ab^{n – 2} + b^{n – 1} \right)=a^{n} – b^{n} \)
도 좌변을 전개하면 우변과 같이 나옴을 알 수 있다.(증명 생략)
\(=a^2 +2ab+b^2 \)
\( =a^2 −2ab+b^2 \)
\(=a^2 −b^2 \)
\(=x^2 +(a +b)x +ab \)
\(=acx^2 +(ad+bc)x +bd\) -암기보단 직접 전개가 더 편리
\(=x^3 +(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x +abc\)
\(=x^3 −(a +b+ c)x^2 +(ab+bc +ca)x −abc \)
\(=a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc +2ca \)
\(=a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3 \)
\(=a^3 −3a^2 b+3ab^2 −b^3 \)
\(=a^3 +b^3 +c^3 −3abc \)
\( =a^3 +b^3\)
\( =a^3 −b^3 \)
\(=a^4 +a^2b^2 +b^4\)
\(=x^n −1 \)
⑴ \((4a − 3b)^2 \)
\((4a − 3b)^2 \\= (4a)^2 − 2 · 4a · 3b + (3b)^2 \\= 16a^2 − 24ab + 9b^2 \)
그냥 전개하면 안되고 암기 후 위와 같이 풀 수 있어야 합니다.
사용된 공식
\((a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2 \)
⑵ \((2a + 5b)(2a − 5b) \)
\((2a + 5b)(2a − 5b) = (2a)^2 − (5b)^2=4a^2 − 25b^2 \)
사용된 공식
\((a + b)(a − b) = a^2 − b^2 \)
⑶ \((x − 3)(x + 6) \)
\((x − 3)(x + 6)\\ = x^2 + 6x − 3x + (−3) · 6\\ = x^2 + 3x − 18\)
<공식을 안 쓰고 그냥 전개하는 것을 추천해요>
⑷ \((2x + 1)(3x − 4) \)
\((2x + 1)(3x − 4) \\= 6x^2 −8x +3x −4\\ = 6x^2 − 5x − 4\)
<공식을 안 쓰고 그냥 전개하는 것을 추천해요>
⑸ \((x − 1)(x − 2)(x − 3) \)
\((x − 1)(x − 2)(x − 3)\\ = x^3 − (1 + 2 + 3)x^2 + (1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 1)x −1 · 2 · 3 \\= x^3 -6x^2 + 11x − 6 \)
사용된 공식
\((x − a)(x − b)(x − c) \\= x^3 − (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x − abc \)
⑹ \((x − y + z)^2 \)
\((x − y + z)^2\\ = x^2 + (−y)^2 + z^2 + 2x · (−y) +2 · (−y) · z + 2zx\\ = x^2 + y^2+ z^2 − 2xy − 2yz + 2zx\)
사용된 공식
\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
⑺ \((x − 2)^3 \)
\((x − 2)^3 \\= x^3 − 3x^2 · 2 + 3x · 2^2 − 2^3 \\= x^3 − 6x^2 + 12x − 8 \)
사용된 공식
\((a − b)^3= a^3 − 3a^2 b + 3ab^2 − b^3 \)
⑻ \((x +2)(x^2 −2x +4) \)
\((x + 2)(x^2 − 2x + 4)\\ = (x + 2)(x^2 − 2x + 2^2 ) \\= x^3 + 2^3 \\= x^3 + 8\)
사용된 공식
\((a +b)(a^2 −ab+b^2) =a^3 +b^3\)
⑼ \((x +y+1)(x^2 +y^2 −xy− x−y+1) \)
\((x + y + 1)(x^2 +y^2− xy − x − y + 1)\\ = (x + y + 1)(x^2 + y^2 + 1^2 − xy − y · 1 − 1 · x) \\= x^3 + y^3 + 1^3 − 3 · x · y · 1\\ = x^3 + y^3 − 3xy + 1\)
사용된 공식
\((a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab- bc − ca) \\= a^3 + b^3 + c^3 − 3abc \)
⑽ \((x^2+3x+9)(x^2-3x+9)\)
풀이1] <그냥 전개해도 괜찮아요>
\((x^2+3x+9)(x^2-3x+9)\\
=\{(x^2+9)+3x\}\{(x^2+9)-3x\} \\
=(x^2+9)^2-(3x)^2 \\
=(x^2)^2+18x^2+81-9x^2 \\
=x^4+9x^2+81 \)
풀이2] <공식사용>
\((x^2+3x+9)(x^2-3x+9)\\
=x^4+9x^2+81 \)
사용공식
\((a^2 +ab+b^2)(a^2 −ab+b^2) =a^4 +a^2b^2 +b^4\)
2. 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈은 다항식을 전개하는 것이나 마찬가지이다. 따라서 두 다항식의 곱셈은 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 이용하여 전개하면 된다.
① 교환법칙 : \(AB =BA\)
② 결합법칙 : \((AB)C = A(BC) \)
③ 분배법칙 : \(A(B+C) =AB+AC, (A+B)C =AC+BC \)
[보기] \(x^2 +x−2\) 와 \(3x − 1\) 의 곱셈은
\((x^2 +x−2)(3x −1) \)
\(=3x^3 −x^2 +3x^2 −x−6x +2 \) (분배법칙)
\(=3x^3 +(−x^2 +3x^2)+(−x−6x)+2 \) (결합법칙)
\(=3x^3 +2x^2 −7x +2 \)
14. 다음 식을 전개하여라.
⑴ \(a^2 b(a^2 + 3ab − b^2 ) \)
⑵ \((2x + 4)(3x^2 − 2x − 1) \)
답]
⑴ \(a^4b+3a^3b^2 −a^2b^3 \)
⑵ \(6x^3 +8x^2 −10x −4 \)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(= a^2 b ㆍa^2 +a^2b ㆍ3ab − a^2 b ㆍb^2 \\= a^4 b + 3a^3 b^2 − a^2 b^3 \)
⑵ (주어진 식) \(= 2x(3x^2 − 2x − 1) + 4(3x^2 − 2x − 1) \\=6x^3 −4x^2 −2x +12x^2 −8x −4 \\=6x^3 +8x^2 −10x −4 \)
일반적으로 단항식과 단항식의 곱셈은 다음 지수법칙을 이용하여 간단히 한다.
\(a, b \)는 실수, \(m, n\)은 자연수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다.
지수법칙
⑴ \(a^m ×a^n =a^{m +n }\)
⑵ \((a^m )^n = a^{mn }\)
⑶ \((ab)^n = a^n b^n\)
⑷ \(a^m ÷a^n =\displaystyle\frac{a^m}{a^n} =a^{m −n }\)
⑸ \(a^{−k} = \displaystyle\frac{1}{a^k}\)
⑹ \(a^0 =1 \)
(단 \(0^0\) 은 고등수학 과정에서 정의되지 않는다)
⑺ \(\displaystyle\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) (단, b≠0)
보기
⑴ \(2^2 ×2^3 =(2×2)×(2×2×2) =2^5 =2^{2+3} \)
⑵ \((2^2)^3 =(2×2)^3 =(2×2)×(2×2)×(2×2) =2^6 =2^{2×3} \)
⑶ \((−2x^2 )^3 = (−2)^3 × (x^2 )^3 = −8x^6 \)
⑷ \(2^5 ÷2^2 = \displaystyle \frac{2^5}{2^2} =2^3 =2^{5−2} \)
⑸⑹ 아래 거듭제곱의 규칙성을 살펴보면 쉽게 이해할 수 있다.(한 칸 내려갈 때마다 2로 나눈다)
\(2^3=8 \\
2^2=4 \\
2^1=2 \\
2^0=1 \\
2^{-1}=\displaystyle\frac{1}{2} \\
2^{-2}=\displaystyle\frac{1}{2^2} \\
2^{-3}=\displaystyle\frac{1}{2^3}
\)
⑺ \(\displaystyle\left( \frac{2}{3} \right)^5 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times\frac{2}{3} \times\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{2^5}{3^5}\)
11. [기초개념] 분모에 0을 쓰면 왜 안 되는지 설명하시오.
정답] 분모에 \(0\)을 쓴다는 것은 분자를 \(0\)으로 나눈다는 것인데, \(0\)으로 어떤 수를 나눈다는 개념은 존재하지 않기 때문이다.
보기] \(\displaystyle\frac{6}{3} =2\)는 \(3\)을 \(2\)번 더하면 \(6\)이 된다는 의미이고 \(\displaystyle\frac{6}{2} =3\)은 \(2\)를 \(3\)번 더하면 \(6\)이 된다는 의미이고 \(\displaystyle\frac{6}{1} =6\)은 \(1\)을 \(6\)번 더하면 \(6\)이 된다는 의미이다.
그러면 \(\displaystyle\frac{6}{0} \)에서 \(0\)을 몇 번을 더하면 \(6\)이 나올까? 그런 수는 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. ∴ \(0\)로 나눈다는 개념은 존재하지 않고 분모에 \(0\)은 쓰지 않는다.
12. 지수법칙을 모두 이해하고 암기하였는지 확인하시오.( \(a, b\)는 실수, \(m, n\)은 자연수일 때)
⑴ \(a^m ×a^n =\)
⑵ \((a^m )^n =\)
⑶ \((ab)^n =\)
⑷ \(a^m ÷a^n =\)
⑸ \(a^{ −k} =\)
⑴ \(a^m ×a^n =a^{m +n}\)
⑵ \((a^m )^n = a^{mn}\)
⑶ \((ab)^n = a^n b^n\)
⑷ \(a^m ÷a^n = \displaystyle\frac{a^m}{a^n} =a^{m −n}\)
⑸ \(a^ {−k} =\displaystyle\frac{1}{a^k}\)
13. 다음 식을 간단히 하여라.
⑴ \(\displaystyle \left( -\frac{ 1}{2} x^2 \right)^3 × \left(-\frac{ 1}{3} x^4\right)^2 ÷ \left(-\frac{x}{6}\right)^2\)
⑵ \(\displaystyle(−2ab^2 )^3 ÷ 8(ab)^3 × \left(-\frac{ a^2 b}{ 4}\right)^2 \)
답] ⑴ \(\displaystyle -\frac{ 1}{2} x^{12}\) ⑵ \(\displaystyle -\frac{ 1}{16} a^4 b^5\)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(\displaystyle = \left(-\frac{ 1}{8} x^6\right)×\frac{1}{9} x^8 ÷ \frac{x^2}{36} =\left(-\frac{ 1}{8} x^6\right)×\frac{1}{9} x^8× \frac{36}{x^2} =-\frac{ 1}{2} x^{12}\)
⑵ (주어진 식) \(\displaystyle= (−8a^3 b^6 ) ÷ 8a^3 b^3 ×\frac{ a^4 b^2 }{16} = (−8a^3 b^6 ) × \frac{1}{8a^3 b^3} ×\frac{ a^4 b^2 }{16} = -\frac{ 1}{16} a^4 b^5\)
다항식의 덧셈은 다항식에 있는 각 항을 모두 더한 다음 동류항끼리 묶어서 정리하고,
뺄셈은 빼는 다항식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한 다음 동류항끼리 묶어서 정리한다.
예) 두 다항식 \(2x^2 +x+1 \)과 \(5−3x −x^2 +3x^3 \)의 덧셈을 하면
\((2x^2 +x+1)+(5−3x −x^2 +3x^3) \)
\(=2x^2 +x+1+5−3x −x^2 +3x^3 \)
\(=3x^3 +(2−1)x^2 +(1−3)x +(1+5) \)
\(=3x^3 +x^2 −2x +6 \)
이고, 뺄셈을 하면
\((2x^2 +x+1)−(5−3x −x^2 +3x^3) \)
\(=2x^2 +x+1−5+3x +x^2 −3x^3 \)
\(= −3x^3 +(2+1)x^2 +(1+3)x +(1−5) \)
\(= −3x^3 +3x^2 +4x −4 \)
이다. 위 계산은 다음과 같이 동류항을 내림차순으로 맞추어 세로셈으로 할 수도 있다.
\( \begin{align} 2&x^2 + x+1 \\ +\;\;\; 3x^3 − &x^2 −3x +5 \\ \hline =\;\; 3x^3 + &x^2 −2x +6 \end{align} \)
\( \begin{align} 2&x^2 + x+1 \\ -\;\;\; (3x^3 −\;\;\; &x^2 −3x +5) \\ \hline=\; −\;3x^3 +3&x^2 +4x −4 \end{align} \)
8. 다음 식을 계산하여라.
⑴ \((5x^3 −x^2 +3x −1)+(−x^3 +2x^2 +5) \)
⑵ \((2x^2 +3xy-y^2)−(−x^2 +xy+5y^2) \)
정답]
⑴ \(4x^3 +x^2 +3x +4\)
⑵ \(3x^2 + 2xy − 6y^2 \)
풀이]
⑴ \((5x^3 −x^2 +3x −1)+(−x^3 +2x^2 +5)\)
\( =(5−1)x^3 +(−1+2)x^2 +3x +(−1+5) \)
\(=4x^3 +x^2 +3x +4 \)
⑵ \((2x^2+ 3xy−y^2)−(−x^2 +xy+5y^2) \)
\(=(2x^2 +3xy−y^2)+(x^2 −xy−5y^2)\)
\(= (2 + 1)x^2 + (3 − 1)xy + (−1 − 5)y^2 \)
\(= 3x^2 + 2xy − 6y^2 \)
⑴ 내림차순으로 정리 :
한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것
이차식의 경우 \(x\)에 대한 내림차순은
\(( \;\;\;\;\;\; )x^2 +(\;\;\;\;\;\; )x +( \;\;\;\;\;\;)\)
꼴로 식을 나타내는 것.
⑵ 오름차순으로 정리 : 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것
이차식의 경우 \(x\)에 대한 오름차순은
\(( \;\;\;\;\;\;)+( \;\;\;\;\;\;)x+(\;\;\;\;\;\; )x^2 \)
꼴로 식을 나타내는 것이다.
4. \(5x +x^3 +2x^2 +3\) 을
⑴ \(x\)에 관해 내림차순으로 정리하시오.
⑵ \(x\)에 관해 오름차순으로 정리하시오.
⑴ \(x\)에 관해 내림차순으로 정리하면
\(x^3 +2x^2 +5x +3 \)
⑵ \(x\)에 관해 오름차순으로 정리하면
\(3+5x +2x^2 +x^3 \)
5. \(4x^3 +x^3y^2 −2y^3 +3xy+2\) 을
⑴ \(x\)에 관해 내림차순으로 정리하시오.
정답] \((4+y^2)x^3 +3xy−2y^3 +2 \)
풀이] 문자가 두 개 이상일 땐 다른 한 문자는 상수와 같이 취급한다.
* 이 식의 각 항은 \(x\)에 관하여 다음과 같은 차수를 갖는다.
\begin{array} 4x^3\;+ & x^3y^2\;- & 2y^3\;+ & 3xy\;+ & 2 \\ ↑ & \;↑ & \;↑ & \;↑ & ↑ \\ 3차 & 3차 & 상수 & 1차 & 상수 \\ \end{array}
[1단계] \(x\)에 관해 내림차순으로 정리한다.
\begin{array} 4x^3\;+ & x^3y^2\; + & 3xy\;− & 2y^3 \;+ & 2 \\ ↑ &\; ↑ & \;↑ & \;↑ & ↑ \\ 3차 & 3차 & 1차 & 상수 & 상수 \\ \end{array}
[2단계] 동류항끼리 괄호로 정리한다.
\[(4+y^2)x^3 +3xy−2y^3 +2 \]
학생들이 자주 묻는 질문
Q 내림차순, 오름차순으로 정리할 때 꼭 동류항끼리 괄호로 묶어줘야 답인가요?
A 그렇진 않아요. 묶지 않아도 정답입니다. 좀 더 깔끔하게 보일 뿐입니다.
Q \(−2y^3\) 을 \(2\)보다 꼭 먼저 써야 하나요?
A 그렇지 않아요. 내림차순, 오름차순에서 같은 차수 항끼리의 순서는 중요하지 않습니다.
⑵ \(x\)에 관해 오름차순으로 정리하시오.
⑵ \( x\)에 관해 오름차순으로 정리하면
\(2−2y^3 +3xy+(4+y^2)x^3 \)
⑶ \(y\)에 관해 내림차순으로 정리하시오.
정답] \(−2y^3 +x^3y^2 +3xy+4x^3 +2 \)
풀이] 이 식은 \(y\)에 관한 차수를 정리하면 아래와 같다.
\begin{array} 4x^3\;+ & x^3y^2\;- & 2y^3\;+ & 3xy\;+ & 2 \\ ↑ & \;↑ & \;↑ & \;↑ & ↑ \\ 상수 & 2차 & 3차 & 1차 & 상수 \\ \end{array}
\(y\)에 관해 내림차순으로 정리하면
\[−2y^3 +x^3y^2 +3xy+4x^3 +2 \]
6. 다항식 \(x^2y^2 +2x^2 +3xy+4y^2 −5x −6y+7 \) 을 다음의 방법으로 정리하여라.
⑴ \(x\)에 대한 내림차순
답]
⑴ \((y^2 +2)x^2 +(3y−5)x +4y^2 −6y+7 \)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(=(x^2y^2 +2x^2)+(3xy−5x)+(4y^2 −6y+7) \)
\(=(y^2 +2)x^2 +(3y−5)x +(4y^2 −6y+7) \)
⑵ \(y\)에 대한 오름차순
답]
⑵ \(2x^2 −5x +7+(3x −6)y+(x^2 +4)y^2 \)
풀이]
⑵ (주어진 식) \(=(2x^2 −5x +7)+(3xy−6y)+(x^2y^2 +4y^2) \)
\(=(2x^2 −5x +7)+(3x −6)y+(x^2 +4)y^2 \)
학생들이 자주 하는 질문
Q ⑵ \(x\)도 낮은 차수부터 써야 답 아닌가요?
A \(y\)만 오름차순이면 \(x\)는 상관없습니다.
\(2x^2 −5x +7+(3x −6)y+(x^2 +4)y^2\) 도 맞고
\(7−5x +2x^2 +(3x −6)y+(x^2 +4)y^2\) 도 맞아요.
다만 수학에서 내림차순으로 쓰는게 더 익숙하여 답안처럼 답을 많이 합니다.
7. 다항식 \(ax^2 +bxy+ cy^2 +dx +ey+f\) 를 다음의 방법으로 정리하여라.
⑴ \(x\)에 대한 내림차순
⑵ \(y\)에 대한 오름차순
답]
⑴ \(ax^2 +(by+d)x +(cy^2 +ey+f) \)
⑵ \((ax^2 +dx +f)+(bx +e)y+ cy^2 \)
풀이]
⑴ (주어진 식) \(=ax^2 +(bxy+dx)+(cy^2 +ey+f) \)
\(=ax^2 +(by+d)x +(cy^2 +ey+f) \)
⑵ (주어진 식) \(=(ax^2 +dx +f)+(bxy+ ey)+ cy^2 \)
\(=(ax^2 +dx +f)+(bx +e)y+ cy^2 \)
1. \(x^{n} – 1\,\, = (x – 1)\left( x^{n – 1} + x^{n – 2} + x^{n – 3} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right)\)
2. \(a^{n} – b^{n} = (a – b)\left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^{2} + \,\,\cdots\,\, + ab^{n – 2} + b^{n – 1} \right)\)
3. \((a + b + c)^{3} – a^{3} – b^{3} – c^{3} = 3(a + b)(b + c)(c + a)\)
설명]
1. 다항식 \((x – 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개하면 아래와 같은 결과가 나온다.
\(x^{3} + x^{2} + x – (x^{2} + x + 1)=x^{3}- 1\)
같은 방법으로 다항식 \((x – 1)\left( x^{3} + x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개해 보면 결과는
\( x^{4} + x^{3}+ x^{2} + x – (x^{3}+ x^{2} + x+1)=x^{4} – 1\) 임을 알 수 있다.
\((x – 1)\left( x^{9} + x^{8} + x^{7} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right)\)의 전개식을 추측해 보자. 일일이 전개해 보지 않아도
\(x^{10} – 1\) 인 것을 알 수 있다.
즉,
\((x – 1)\left( x^{n – 1} + x^{n – 2} + x^{n – 3} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right) = x^{n} – 1\)
임을 기억하자.
2. \(a^{n} – b^{n} = (a – b)\left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^{2} + \,\,\cdots\,\, + ab^{n – 2} + b^{n – 1} \right)\) 도 우변을 전개하면 좌변과 같이 나옴을 알 수 있다.(증명 생략)
3. \((a + b + c)^{3} – a^{3} – b^{3} – c^{3}\)
\(= (a + b + c)^{3} – \left( a^{3} + b^{3} + c^{3} \right) = (a + b + c)^{3} – (a + b + c)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ca \right) + 3abc\)
\(= (a + b + c)\{(a + b + c)^{2} – \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ca \right) \}- 3abc\)
\(= (a + b + c)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca – a^{2} – b^{2} – c^{2} + ab + bc + ca \right) – 3abc\)
\(= (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) – 3abc\)
\(= 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc\)
\(= 3\left( a^{2}b + abc + ca^{2} + ab^{2} + b^{2}c + abc + abc + bc^{2} + c^{2}a \right) – 3abc\)
\(= 3 \left( a^{2}b + abc + ca^{2} + ab^{2} + b^{2}c + abc + abc + bc^{2} + c^{2}a – abc \right)\)
\(= 3 \left \{ (b + c)a^{2} + \left( b^{2} + 2bc + c^{2} \right)a + (b + c)bc \right \} \)
\(= 3 (b + c)a^{2} + (b + c)a + bc \)
\(= 3(a + b)(b + c)(c + a)\)
문제] 다음 다항식을 인수분해하시오.
\((2x+y+3z)^3-8x^3-y^3-27z^3\)
\(3(2x+y)(y+3z)(3z+2x)\)
⑴ 항 : 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식
⑵ 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항
⑶ 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분
⑷ 단항식 : 하나의 항으로 이루어진 식
⑸ 다항식 : 한 개 또는 두 개 이상의 항의 덧셈 (또는 뺄셈)으로 연결된 식
⑹ 차수
① 항의 차수 : 항에서 특정 문자가 곱해진 개수
② 다항식의 차수 : 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수항의 차수
⑺ 동류항 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항
식 \(3x^2 −2x+5\) 이 주어졌을 때
⑴ 항 : 위 식은 \(3x^2 , −2x, 5\) 세 개의 항으로 이루어져 있다
⑵ 상수항 : \( 5\)가 상수항이다
⑶ 계수 : \(3\)은 \(x^2\) 의 계수이고 , \(−2\)는 \(x\) 의 계수이다
⑷ 단항식 : 예를 들면 \(2x^4 y^3 \)과 같이 항이 하나만 있는 식
⑸ 다항식 : \(3x^2 −2x+5\)와 같이 항이 여러 개 있는 식도 , \(2x^4 y^3\) 과 같이 항이 하나만 있는 식도 다항식이다
⑹ 차수
① 항의 차수 : \(2x^4 y^3 \)은 \(x\)에 대한 \(4\)차항 , \(y\)에 대한 \(3\)차항
② 다항식의 차수 : \(3x^2 −2x+5\)는 \(x\)에 대한 \(2\)차식이다 . 가장 차수가 큰 항 (\(3x^2\) )이 기준이다.
⑺ 동류항 : 식 \(2x^2+3x+1\) 과 \(5x^2-2\)가 주어졌을 때,
\(2x^2\)과 \(5x^2\) 은 동류항이고, \(1\) 과 \(-2\)도 동류항이다. (모든 상수항은 동류항이다)
1. \(3x^2 −2x+5\) 에서 다음을 파악하시오
⑴ 항을 모두 구하면
⑵ 상수항을 구하면
⑶ \(x^2\) 의 계수는 ? ( ), \(x\)의 계수는 ? ( )
⑷ \(3x^2 −2x+5\) 는 단항식인가 다항식인가 ? ( )
⑸
① 항의 차수 : \(3x^2\) 은 \(x\)에 대한 ( )차항 , −\(2x\)는 \(x\)에 대한 ( )차항이다 .
② 다항식의 차수 : \(3x^2 −2x+5\)은 \(x\)에 대한 ( )차식이다
⑹ 두 식 \(3x^2 −2x+5,\;\; 2x^2 +3x−2\) 에서 동류항을 모두 구하시오
⑴ 항은 \(3x^2 , −2x, 5\) 이다 . \(−2x\)에서 \(−\)를 빠뜨리지 않도록 유의하자.
⑵ 문자가 없는 항은 \(5\) 이다.
⑶ \( x^2\) 앞에 곱해진 수는 ( \(3\) ), x앞에 곱해진 수는 ( \(−2\) )
⑷ \(3x^2 −2x+5\) 는 세 개의 항으로 이루어져 있으므로 단(單 하나)항식이 아니고 다(多 여럿)항식이다
⑸
① 항의 차수 : \(3x^2\) 은 \(x\)에 대한 ( 이 )차항, \(−2x\) 는 \(x\)에 대한 ( 일 )차항이다.
② 다항식의 차수 : \(3x^2 −2x+5\) 는 \(x\)에 대한 ( 이 )차식이다.
– 가장 차수가 큰 항(\(3x^2\) )이 기준이다.
⑹ 두 식 \(3x^2 −2x+5, , 2x^2 +3x−2\) 에서 문자와 차수가 같은 것이 동류항이다.
∴ \(3x^2\) 과 \(2x^2\) 이 동류항이고 , 또 \(−2x\;\)와 \(3x\;\)가 동류항이다.
\(5\;\)와 \(−2\;\)도 동류항이다.(모든 상수항은 동류항이다)
[참고 1] 단항식의 구분
➀ \(5x^3 y^2 z\) 와 같이 곱셈기호만으로 연결된 식은 아무리 길어도 단항식이다 .
\(5x^3 y^2 z =5×x×x×x×y×y×z\)
➁ \(\displaystyle \frac{y^2 z}{x}\)와 같이 분모에 미지수가 있으면 단항식이 아니다
➂ \(\displaystyle \frac{2x^2}{3}\) 은 \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2\)과 같고 이는 \(\displaystyle \frac{2}{3}\)가 계수인 단항식이다. 분모에 미지수가 없다.
[참고 2] 문자가 여러 개일 때 차수의 구분
\(5x^3 y^2 z \)는
➀ \(x\)에 대한 \(3\)차항 (\(x\)를 \(3\)번 곱했다 )
➁ \(y\)에 대한 \(2\)차항 (\(y\)를 \(2\)번 곱했다 )
➂ \(z\)에 대한 \(1\)차항 (\(z\)를 \(1\)번 곱했다 )
➃ \(x, y, z\)에 대한 \(6\)차항이다 \(x, y, z\)를 합해 총 \(6\)번 곱했다
2. \(4x^3 +x^3 y^2 −2y^3 +3xy+2\) 에서 항 , 상수항을 구하고 각 문자에 관해 몇차식인지 구하시오
⑴ 항을 모두 구하시오.
⑵ 상수항을 구하시오.
⑶ 위 다항식은 \(x\)에 대한 ( )차식이고 \(y\)에 대한 ( ) 차식 , \(x, y\)에 대한 ( ) 차식이다
⑴ 항은 \(4x^3 , x^3 y^2 , −2y^3 , 3xy, 2\) 이다
⑵ 상수항은 \(2\)이다
⑶ 위 다항식은 \(x\)에 대한 삼차식이고 \(y\)에 대한 삼차식, \(x, y\)에 대한 오차식이다.(\(x^3 y^2\)은 \(x, y\)가 모두 \(5\)번 곱해진 식이므로)
3. 다음 용어의 뜻을 모두 설명하시오.
⑴ 항 :
⑵ 상수항 :
⑶ 계수 :
⑷ 단항식 :
⑸ 다항식 :
⑹ 차수
① 항의 차수 :
② 다항식의 차수 :
⑺ 동류항 :
⑴ 항 : 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식
⑵ 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항
⑶ 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분
⑷ 단항식 : 하나의 항으로 이루어진 식
⑸ 다항식 : 한 개 또는 두 개 이상의 항의 덧셈 (또는 뺄셈)으로 연결된 식
⑹ 차수
① 항의 차수 : 항에서 특정 문자가 곱해진 개수
② 다항식의 차수 : 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수항의 차수
⑺ 동류항 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항