1.다항식에서 사용하는 용어
⑴ 항 : 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식
⑵ 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항
⑶ 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분
⑷ 단항식 : 하나의 항으로 이루어진 식
⑸ 다항식 : 한 개 또는 두 개 이상의 항의 덧셈 (또는 뺄셈)으로 연결된 식
⑹ 차수
① 항의 차수 : 항에서 특정 문자가 곱해진 개수
② 다항식의 차수 : 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수항의 차수
⑺ 동류항 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항
식 \(3x^2 −2x+5\) 이 주어졌을 때
⑴ 항 : 위 식은 \(3x^2 , −2x, 5\) 세 개의 항으로 이루어져 있다
⑵ 상수항 : \( 5\)가 상수항이다
⑶ 계수 : \(3\)은 \(x^2\) 의 계수이고 , \(−2\)는 \(x\) 의 계수이다
⑷ 단항식 : 예를 들면 \(2x^4 y^3 \)과 같이 항이 하나만 있는 식
⑸ 다항식 : \(3x^2 −2x+5\)와 같이 항이 여러 개 있는 식도 , \(2x^4 y^3\) 과 같이 항이 하나만 있는 식도 다항식이다
⑹ 차수
① 항의 차수 : \(2x^4 y^3 \)은 \(x\)에 대한 \(4\)차항 , \(y\)에 대한 \(3\)차항
② 다항식의 차수 : \(3x^2 −2x+5\)는 \(x\)에 대한 \(2\)차식이다 . 가장 차수가 큰 항 (\(3x^2\) )이 기준이다.
⑺ 동류항 : 식 \(2x^2+3x+1\) 과 \(5x^2-2\)가 주어졌을 때,
\(2x^2\)과 \(5x^2\) 은 동류항이고, \(1\) 과 \(-2\)도 동류항이다. (모든 상수항은 동류항이다)
다항식의 연산 예문 풀기
1. \(3x^2 −2x+5\) 에서 다음을 파악하시오
⑴ 항을 모두 구하면
⑵ 상수항을 구하면
⑶ \(x^2\) 의 계수는 ? ( ), \(x\)의 계수는 ? ( )
⑷ \(3x^2 −2x+5\) 는 단항식인가 다항식인가 ? ( )
⑸
① 항의 차수 : \(3x^2\) 은 \(x\)에 대한 ( )차항 , −\(2x\)는 \(x\)에 대한 ( )차항이다 .
② 다항식의 차수 : \(3x^2 −2x+5\)은 \(x\)에 대한 ( )차식이다
⑹ 두 식 \(3x^2 −2x+5,\;\; 2x^2 +3x−2\) 에서 동류항을 모두 구하시오
⑴ 항은 \(3x^2 , −2x, 5\) 이다 . \(−2x\)에서 \(−\)를 빠뜨리지 않도록 유의하자.
⑵ 문자가 없는 항은 \(5\) 이다.
⑶ \( x^2\) 앞에 곱해진 수는 ( \(3\) ), x앞에 곱해진 수는 ( \(−2\) )
⑷ \(3x^2 −2x+5\) 는 세 개의 항으로 이루어져 있으므로 단(單 하나)항식이 아니고 다(多 여럿)항식이다
⑸
① 항의 차수 : \(3x^2\) 은 \(x\)에 대한 ( 이 )차항, \(−2x\) 는 \(x\)에 대한 ( 일 )차항이다.
② 다항식의 차수 : \(3x^2 −2x+5\) 는 \(x\)에 대한 ( 이 )차식이다.
– 가장 차수가 큰 항(\(3x^2\) )이 기준이다.
⑹ 두 식 \(3x^2 −2x+5, , 2x^2 +3x−2\) 에서 문자와 차수가 같은 것이 동류항이다.
∴ \(3x^2\) 과 \(2x^2\) 이 동류항이고 , 또 \(−2x\;\)와 \(3x\;\)가 동류항이다.
\(5\;\)와 \(−2\;\)도 동류항이다.(모든 상수항은 동류항이다)
[참고 1] 단항식의 구분
➀ \(5x^3 y^2 z\) 와 같이 곱셈기호만으로 연결된 식은 아무리 길어도 단항식이다 .
\(5x^3 y^2 z =5×x×x×x×y×y×z\)
➁ \(\displaystyle \frac{y^2 z}{x}\)와 같이 분모에 미지수가 있으면 단항식이 아니다
➂ \(\displaystyle \frac{2x^2}{3}\) 은 \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2\)과 같고 이는 \(\displaystyle \frac{2}{3}\)가 계수인 단항식이다. 분모에 미지수가 없다.
[참고 2] 문자가 여러 개일 때 차수의 구분
\(5x^3 y^2 z \)는
➀ \(x\)에 대한 \(3\)차항 (\(x\)를 \(3\)번 곱했다 )
➁ \(y\)에 대한 \(2\)차항 (\(y\)를 \(2\)번 곱했다 )
➂ \(z\)에 대한 \(1\)차항 (\(z\)를 \(1\)번 곱했다 )
➃ \(x, y, z\)에 대한 \(6\)차항이다 \(x, y, z\)를 합해 총 \(6\)번 곱했다
2. \(4x^3 +x^3 y^2 −2y^3 +3xy+2\) 에서 항 , 상수항을 구하고 각 문자에 관해 몇차식인지 구하시오
⑴ 항을 모두 구하시오.
⑵ 상수항을 구하시오.
⑶ 위 다항식은 \(x\)에 대한 ( )차식이고 \(y\)에 대한 ( ) 차식 , \(x, y\)에 대한 ( ) 차식이다
⑴ 항은 \(4x^3 , x^3 y^2 , −2y^3 , 3xy, 2\) 이다
⑵ 상수항은 \(2\)이다
⑶ 위 다항식은 \(x\)에 대한 삼차식이고 \(y\)에 대한 삼차식, \(x, y\)에 대한 오차식이다.(\(x^3 y^2\)은 \(x, y\)가 모두 \(5\)번 곱해진 식이므로)
3. 다음 용어의 뜻을 모두 설명하시오.
⑴ 항 :
⑵ 상수항 :
⑶ 계수 :
⑷ 단항식 :
⑸ 다항식 :
⑹ 차수
① 항의 차수 :
② 다항식의 차수 :
⑺ 동류항 :
⑴ 항 : 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식
⑵ 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항
⑶ 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분
⑷ 단항식 : 하나의 항으로 이루어진 식
⑸ 다항식 : 한 개 또는 두 개 이상의 항의 덧셈 (또는 뺄셈)으로 연결된 식
⑹ 차수
① 항의 차수 : 항에서 특정 문자가 곱해진 개수
② 다항식의 차수 : 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수항의 차수
⑺ 동류항 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항