교과외이지만 알아두면 도움이 되는 인수분해 공식
1. \(x^{n} – 1\,\, = (x – 1)\left( x^{n – 1} + x^{n – 2} + x^{n – 3} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right)\)
2. \(a^{n} – b^{n} = (a – b)\left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^{2} + \,\,\cdots\,\, + ab^{n – 2} + b^{n – 1} \right)\)
3. \((a + b + c)^{3} – a^{3} – b^{3} – c^{3} = 3(a + b)(b + c)(c + a)\)
설명]
1. 다항식 \((x – 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개하면 아래와 같은 결과가 나온다.
\(x^{3} + x^{2} + x – (x^{2} + x + 1)=x^{3}- 1\)
같은 방법으로 다항식 \((x – 1)\left( x^{3} + x^{2} + x + 1 \right)\)을 전개해 보면 결과는
\( x^{4} + x^{3}+ x^{2} + x – (x^{3}+ x^{2} + x+1)=x^{4} – 1\) 임을 알 수 있다.
\((x – 1)\left( x^{9} + x^{8} + x^{7} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right)\)의 전개식을 추측해 보자. 일일이 전개해 보지 않아도
\(x^{10} – 1\) 인 것을 알 수 있다.
즉,
\((x – 1)\left( x^{n – 1} + x^{n – 2} + x^{n – 3} + \,\,\cdots\,\, + x + 1 \right) = x^{n} – 1\)
임을 기억하자.
2. \(a^{n} – b^{n} = (a – b)\left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^{2} + \,\,\cdots\,\, + ab^{n – 2} + b^{n – 1} \right)\) 도 우변을 전개하면 좌변과 같이 나옴을 알 수 있다.(증명 생략)
3. \((a + b + c)^{3} – a^{3} – b^{3} – c^{3}\)
\(= (a + b + c)^{3} – \left( a^{3} + b^{3} + c^{3} \right) = (a + b + c)^{3} – (a + b + c)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ca \right) + 3abc\)
\(= (a + b + c)\{(a + b + c)^{2} – \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ca \right) \}- 3abc\)
\(= (a + b + c)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca – a^{2} – b^{2} – c^{2} + ab + bc + ca \right) – 3abc\)
\(= (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) – 3abc\)
\(= 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc\)
\(= 3\left( a^{2}b + abc + ca^{2} + ab^{2} + b^{2}c + abc + abc + bc^{2} + c^{2}a \right) – 3abc\)
\(= 3 \left( a^{2}b + abc + ca^{2} + ab^{2} + b^{2}c + abc + abc + bc^{2} + c^{2}a – abc \right)\)
\(= 3 \left \{ (b + c)a^{2} + \left( b^{2} + 2bc + c^{2} \right)a + (b + c)bc \right \} \)
\(= 3 (b + c)a^{2} + (b + c)a + bc \)
\(= 3(a + b)(b + c)(c + a)\)
문제] 다음 다항식을 인수분해하시오.
\((2x+y+3z)^3-8x^3-y^3-27z^3\)
\(3(2x+y)(y+3z)(3z+2x)\)